Главная » ЕГЭ » Точки максимума функции примеры. Экстремум функции

Точки максимума функции примеры. Экстремум функции

Максимумом следует называть самое большое число или самый большой предел, которого можно достигнуть. Минимум – это, как все мы прекрасно знаем, прямая противоположность максимуму, т.е. это самое маленькое число и самый маленький предел. Слова минимум и максимум, а также их производные встречаются в таких выражениях и фразах как:

Получать максимум от общения.

Чтобы выучить стихотворение его нужно прочесть как минимум 3-4 раза.

Максимум на что он способен, это…..

У них есть как минимум два общих друга.

Он получил максимальный бал.

Используй возможности по-максимуму!

Это тот минимум, который нужно знать.

Прожиточный минимум.

Минимальное атмосферное давление.

Минимальные/максимальные холода за ….. лет.

Вам потребуется минимум несколько часов для выполнения этой работы.

Такие понятия как максимум и минимум можно встретить и в специальных научных терминах. Например, в математике есть такое понятие как максимум и минимум функции.

Таким образом, максимумом в математике называется наибольшее значение функции. При этом максимальное значение функции больше всех соседних с ней значений. Максимум функции – это такое ее значение, когда сначала значение увеличивается, а затем сразу же начинает убывать, при этом она имеет максимум в том месте, где увеличение и уменьшение функции переходят от одного к другому. Минимум функции – это, соответственно, наименьшее значение функции.

Первую производную функции можно считать положительной, если она поднимается вверх, когда мы увеличиваем переменную, тогда функцию можно считать положительной. Если же первая переменная при увеличении производного, убывает, то функцию следует считать отрицательной.

Производная – это основное значение, которое используют при дифференциальных вычислениях (изучение производной и дифференциала, которые помогают исследовать математические функции), она может пониматься как скорость изменения функции в конкретной точке. Чем скорость больше, тем сильнее меняется функция, чем меньше, тем медленнее (это, однако, правда, только если функция положительная). Таким образом, именно скорость изменения функции в заданной точке и определяет ее наклоны и выпуклости. А переменная – это величина, которая способна менять свое значение. Ее обозначают как x или time.

Переменной можно считать атрибут системы (как физической, так и абстрактной), который способен изменить свое значение. В более глобальном смысле переменной можно назвать и время, и температуру и, вообще, всю жизнь (они могут меняться). Переменная имеет множество значений, которые она способна принимать. Можно считать, что это множество и является переменной.

Что касается непосредственно функции, то она должна пройти от положительного к отрицательному значению через ноль. Таким образом, при том значении переменного, которому соответствует максимум функции, ее производная будет равна нулю. Именно это свойство функции позволяет определять значения x, при которых функция достигает максимума. Однако, если мы увеличим переменную и, при этом, функция сначала увеличивается, а затем уменьшается, то функция, при изменении с отрицательного значения на положительное (пройдя через ноль), достигнет не максимального, а, наоборот, минимального значения. Хотя по логике вещей это можно было бы принять именно за максимальное значение (он находится в верхней точке функции).

Точки максимума и минимума функции еще называют точками экстремума.

Таким образом, как в обычной жизни, так и в математике максимум и минимум – это две крайние противоположности, которые обозначают что-то самое большое и что-то самое маленькое.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х 1 и точка х 1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х 1 максимум.

Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

По определению:

Т.е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x 1) £ 0.

А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x 1) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х 2 минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х 3 , производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) =

y y

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х 1 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х 1).

Если при переходе через точку х 1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х 1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Доказательство.

Пусть

По теореме Лагранжа: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1), где x < e < x 1 .

Тогда: 1) Если х < x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) Если х > x 1 , то e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

Теорема доказана.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков.

Пусть в точке х = х 1 f¢(x 1) = 0 и f¢¢(x 1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х 1 .

Теорема. Если f¢(x 1) = 0, то функция f(x) в точке х = х 1 имеет максимум, если f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

Доказательство.

Пусть f¢(x 1) = 0 и f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

Т.к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) > 0 при хx 1 . Это и означает, что при переходе через точку х = х 1 производная f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е.

в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

Выпуклость и вогнутость кривой.

Точки перегиба.

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой , а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой .

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Доказательство. Пусть х 0 Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

Уравнение кривой: y = f(x);

Уравнение касательной:

Следует доказать, что .

По теореме Лагранжа для f(x) – f(x 0): , x 0 < c < x.

По теореме Лагранжа для

Пусть х > x 0 тогда x 0 < c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 > 0 и c – x 0 > 0, и кроме того по условию

Следовательно, .

Пусть x < x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

Аналогично доказывается, что если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

Теорема доказана.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба .

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Доказательство. 1) Пусть f¢¢(x) < 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 при x > a. Тогда при

x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.

2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x < b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.

Теорема доказана.

Асимптоты.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты.

Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.

Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.

Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.

По условию: , ÐNMP = j, .

Угол j - постоянный и не равный 90 0 , тогда

Тогда .

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

В полученном выражении выносим за скобки х:

Т.к. х®¥, то , т.к. b = const, то .

Тогда , следовательно,

Т.к. , то , следовательно,

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Пример. .

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки .

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума , а точка х = является точкой минимума . Значения функции в этих точках равны соответственно -3 /2 и 3 /2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты .

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

Функции нескольких переменных

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной , а если более одного, то – многозначной .

Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Определение: Окрестностью точки М 0 (х 0 , у 0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .

Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М 0 (х 0 , у 0), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

также верно и условие .

Записывают:

Определение: Пусть точка М 0 (х 0 , у 0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М 0 (х 0 , у 0), если

(1)

причем точка М(х, у) стремится к точке М 0 (х 0 , у 0) произвольным образом.

Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М 0 (х 0 , у 0).

2) Не существует предел .

3) Этот предел существует, но он не равен f(x 0 , y 0).

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и

ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка

N(x 0 , y 0 , …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

а также точка N 1 (x 01 , y 01 , …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

тогда f(x 0 , y 0 , …) = M – наибольшее значение функции, а f(x 01 , y 01 , …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î существует точка

N 0 (x 0 , y 0 , …) такая, что f(x 0 , y 0 , …) = m.

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство .

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х 1 , y 1) и (х 2 , у 2) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство

Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке. См. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Производные и дифференциалы функций

нескольких переменных.

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

Аналогично определяется частная производная функции по у.

Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N 0 (x 0 , y 0 , z 0) к сечению поверхности плоскостью у = у 0 .

Полное приращение и полный дифференциал.

касательная плоскость

Пусть N и N 0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN 0 . Плоскость, которая проходит через точку N 0 , называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN 0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN 0 .

Определение. Нормалью к поверхности в точке N 0 называется прямая, проходящая через точку N 0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М 0 (х 0 , у 0), касательная плоскость в точке N 0 (x 0 ,y 0, (x 0 ,y 0)) существует и имеет уравнение:

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х 0 , у 0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х 0 , у 0) к точке (х 0 +Dх, у 0 +Dу).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

Полный дифференциал функции u равен:

Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

Частные производные высших порядков.

Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.

Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

Рассмотрим функцию y = f(x), которая рассматривается на промежутке (а, b).

Если можно указать такую б-окрестность точки х1 принадлежащую промежутку (а, b), что для всех х (х1, б), выполняется неравенство f(x1) > f(x), то y1 = f1(x1) называют максимумом функции y = f{x) см рис.

Максимум функции y = f{x) обоначим через max f(x). Если можно указать такую б-окрестность точки х2 принадлежащую промежутку (а, b), что для всех х принадлежащую О (х2, 6), х не равно х2 выполняется неравенство f(x2) < f(x) , то y2= f(х2) называют минимумом функции y-f{x) (см. рис.).

Пример нахождения максимума смотрите на следующем видео

Минимум функции

Минимум функции у = f(x) обозначим через min f(x). Другими словами, максимумом или минимумом функции у = f(x) называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех других значений, принимаемых в точках, достаточно близких к данной и отличных от нее.

Замечание 1. Максимум функции , определяемый неравенством называется строгим максимумом; нестрогий максимум определяется неравенством f(x1) > = f(x2)

Замечание 2. имеют локальный характер (это наибольшее и наименьшее значения функции в достаточно малой окрестности соответствующей точки); отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции

Вследствие этого максимум (минимум) функции называют локальным максимумом (локальным минимумом) в отличие от абсолютного максимума (минимума) — наибольшего (наименьшего) значения в области определения функции.

Максимум и минимум функции называются экстремумом . Экстремумы в находят для построяния графиков функций

Латинское extremum означает «крайнее» значение. Значение аргумента х, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума. Необходимое условие экстремума выражается следующей теоремой.

Теорема . В точке экстремума дифференцируемой функции и ее производная равна нулю.

Теорема имеет простой геометрический смысл: касательная к графику дифференцируемой функции в соответствующей точке параллельна оси Ох

Из данной статьи читатель узнает о том, что такое экстремум функционального значения, а также об особенностях его использования в практической деятельности. Изучение такого концепта крайне важно для понимания основ высшей математики. Эта тема является основополагающей для более глубокого изучения курса.

Вконтакте

Что такое экстремум?

В школьном курсе дается множество определений понятия «экстремум». Данная статья призвана дать самое глубокое и четкое представление о термине для несведущих в вопросе лиц. Итак, под термином понимают, насколько функциональный промежуток приобретает минимальное либо максимальное значение на том или ином множестве.

Экстремум – это и минимальное значение функции, и максимальное одновременно. Различают точку минимума и точку максимума, то есть крайние значения аргумента на графике. Основные науки, в которых используют данный концепт:

статистика;
машинное управление;
эконометрика.

Точки экстремума играют важную роль в определении последовательности заданной функции. Система координат на графике в лучшем виде показывает изменение экстремального положения в зависимости от изменения функциональности.

Экстремумы производной функции

Имеет также место такое явление, как «производная». Она необходима для определения точки экстремума. Важно не путать точки минимума либо максимума с наибольшим и наименьшим значением. Это разные понятия, хотя могут показаться похожими.

Значение функции является основным фактором для определения того, как найти точку максимума. Производная не образуется от значений, а исключительно от крайнего ее положения в том или ином его порядке.

Сама же по себе производная определяется на основе данных точек экстремума, а не наибольшего или наименьшего значения. В российских школах недостаточно четко проводят грань между этими двумя концептами, что влияет на понимание данной темы вообще.

Давайте теперь рассмотрим такое понятие как «острый экстремум». На сегодняшний день выделяют острый минимум значения и острый максимум значения. Определение дано в соответствии с российской классификацией критических точек функции. Концепт точки экстремума лежит в основе нахождения критических точек на графике.

Для определения такого понятия прибегают к использованию теоремы Ферма. Она является важнейшей в ходе изучения крайних точек и дает четкое представление об их существовании в том или ином их виде. Для обеспечения экстремальности важно создать определенные условия для убывания либо возрастания на графике.

Для точного ответить на вопрос «как найти точку максимума», необходимо следовать таким положениям:

Нахождение точной области определения на графике.
Поиск производной функции и точки экстремума.
Решать стандартные неравенства на область нахождения аргумента.
Уметь доказывать, в каких функциях точка на графике определена и непрерывна.

Внимание! Поиск критической точки функции возможен только в случае существования производной не менее второго порядка, что обеспечивается высокой долей наличия точки экстремума.

Необходимое условие экстремума функции

Для того чтобы существовал экстремум, важно, чтобы были как точки минимума, так и точки максимума. В случае если это правило соблюдено лишь частично, то условие существование экстремума нарушается.

Каждая функция в любом положении должна быть продифференцирована с целью выявления ее новых значений. Важно понимать, что случай обращения точки в ноль не является основным принципом нахождения дифференцируемой точки.

Острый экстремум, также как и минимум функции – это крайне важный аспект решения математической задачи с использованием экстремальных значений. Для того чтобы лучше понимать данную составляющую, важно обратиться к табличным значениям по заданию функционала.

Полное исследование значения

Построение графика значения

1. Определение точек возрастания и убывания значений.

2. Нахождение точек разрыва, экстремума и пересечение с координатными осями.

3. Процесс определения изменений положения на графике.

4. Определение показателя и направления выпуклости и выгнутости с учетом наличия асимптот.

5. Создание сводной таблицы исследования с точки зрения определения ее координат.

6. Нахождение промежутков возрастания и убывания крайних и острых точек.

7. Определение выпуклости и вогнутости кривой.

8. Построение графика с учетом исследования позволяет найти минимум либо максимум.

Основным элементом при необходимости работы с экстремумами является точное построение его графика.

Школьные учителя не часто уделяют столь важному аспекту максимум внимания, что является грубейшим нарушением учебного процесса.

Построение графика происходит только по итогам исследования функциональных данных, определения острых экстремумов, а также точек на графике.

Острые экстремумы производной функции отображаются на графике точных значений, с использованием стандартной процедуры определения асимптот.

Точки максимума и минимума функции сопровождаются более сложными построениями графика. Это обусловлено более глубокой необходимостью прорабатывать проблему острого экстремума.

Необходимо также находить производную сложной и простой функции, так как это одно из самых главных понятий проблематики экстремума.

Экстремум функционала

Для того чтобы отыскать вышеозначенное значение, необходимо придерживаться следующих правил:

определить необходимое условие экстремального отношения;
учитывать достаточное условие крайних точек на графике;
осуществлять расчет острого экстремума.

Используются также такие понятия, как слабый минимум и сильный минимум. Это необходимо учитывать при определении экстремума и точного его расчета. При этом острый функционал – это поиск и создание всех необходимых условий для работы с графиком функции.

значение

Наибольшее

значение

Наименьшее

Точка максимума

Точка минимума

Задачи на нахождение точек экстремумафункции решаются по стандартной схеме в 3 шага.

Шаг 1 . Найдите производную функции

Запомнитеформулы производной элементарных функции и основные правила дифференцирования, чтобы найти производную.

y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.

Шаг 2 . Найдите нули производной

Решите полученное уравнение, чтобы найти нули производной.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

Шаг 3 . Найдите точки экстремума

Используйте метод интервалов, чтобы определить знаки производной;
В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, а вточке максимума – с плюса на минус.

Применим этот подход, чтобы решить следующую задачу:

Найдите точку максимума функции y=x3−243x+19.

1) Найдем производную: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) Решим уравнение y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) Производная положительная при x>9 и x<−9 и отрицательная при −9

Как искать наибольшее и наименьшее значение функции

Для решения задачи на поиск наибольших и наименьших значений функциинеобходимо :

Найти точки экстремума функции на отрезке (интервале).
Найти значения в концах отрезка и выбрать наибольшее или наименьшее величину из значений в точках экстремума и в концах отрезка.

Во многих задачах помогаеттеорема :

Если на отрезке только одна точка экстремума, причем это точка минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции. Если это точка максимума, то в ней достигается наибольшее значение.

14. Понятие и основные свойств неопределённого интеграла.

Если функция f (x X , и k – число, то

Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

Если функции f (x ) и g (x ) имеют первообразные на промежутке X , то

Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если функция f (x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:

Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

Если функция f (x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

Дадим строгое математическое определение понятия неопределенного интеграла .

Выражение вида называется интегралом от функции f(x) , где f(x) - подынтегральная функция, которая задается (известная), dx - дифференциал x , с символом всегда присутствует dx .

Определение. Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C , содержащая произвольное постоянное C , дифференциал которой равенподынтегральному выражению f(x)dx , т.е. или Функцию называют первообразной функции . Первообразная функции определяется с точностью до постоянной величины.

Напомним, что -дифференциал функции и определяется следующим образом:

Задача нахождения неопределенного интеграла заключается в нахождении такой функции, производная которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю.

Например, известно, что , тогда получается, что , здесь - произвольная постоянная.

Задача нахождение неопределенного интеграла от функций не столь простая и легкая, как кажется на первый взгляд. Во многих случаях должен быть навык работы снеопределенными интегралами, должен быть опыт, который приходит с практикой и с постоянным решением примеров на неопределенные интегралы. Стоит учитывать тот факт, что неопределенные интегралы от некоторых функций (их достаточно много) не берутся в элементарных функциях.

15.Таблица основных неопределённых интегралов.

Основные формулы

16. Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический и физический смыл интеграла.

Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек х 0 =а, x 1, х 2, ..., х n = В (х 0

2. В каждом частичном отрезке , i = 1,2,...,n выберем произвольную точку с i є и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(с i).

3. Умножим найденное значение функции ƒ (с i) на длину ∆x i =x i -x i-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (с i) ∆х i.

4. Составим сумму S n всех таких произведений:

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка:λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0.

Если при этом интегральная сумма S n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Таким образом,

Числа а и b называются соответственна нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) - подынтегральной функцией, ƒ(х) dx - подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, отрезок [а; b] - областью (отрезком) интегрирования.

Функция у=ƒ(х), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.

Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2).

1. Определенный интеграл не зависим от обозначения переменной интегрирования:

Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Для любого действительного числа с.

17. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница : .

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления .

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство .

Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:

где .

Перепишем это равенство в виде . Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке . Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как , где С – произвольная постоянная.

Вычислим F(a) , используя первое свойство определенного интеграла: , следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b) : , то есть . Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .

Приращение функции принято обозначать как . Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид .

Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.

Пример.

Вычислить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл).

Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для ) записывается как . Возьмем первообразную при C = 0 : .

Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: .

18. Геометрические приложения определенного интеграла.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Прямоугольная С.К.	Функция, задана параметрически	Полярная С.К.
Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление длины дуги плоской кривой

Вычисление площади поверхности вращения

Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений:

Объем тела вращения: ; .

Пример 1 . Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=sinx, прямыми

Решение: Находим площадь фигуры:

Пример 2 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений

Отсюда находим x 1 =0, x 2 =2,5.

19. Понятие дифференциальных управлений. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциа́льное уравне́ние - уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением.

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) - это уравнения, содержащие неизвестныефункции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

где - независимые переменные, а - функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить налинейные и нелинейные . Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n -го порядка:

где p i (x ) - известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r (x ) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции) Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами .

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения - уравнения, которые не содержат свободного члена: r (x ) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника для случая малых амплитуд, когда y ≈ sin y .

· - однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций , где и - произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3.

· Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения где m - масса тела, x - его координата, F (x , t ) - сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t . Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

· Дифференциальное уравнение Бесселя - обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: Его решениями являются функции Бесселя.

· Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка:

В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y .

· Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

· Одномерное волновое уравнение - однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если - отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t , а параметр a задаёт свойства струны:

· Уравнение Лапласа в двумерном пространстве - однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики:

· Уравнение Кортевега - де Фриза, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, описывающее стационарные нелинейные волны, в том числе солитоны: