Ряд распределения дискретной случайной величины найдите f. Закон распределения случайных величин

Х ; значение F (5); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из отрезка . Построить многоугольник распределения.

1. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х :

Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.

1. Дан закон распределения случайной величины Х :

Х	–28	–20	–12	–4
p	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Вероятность того, что в магазине есть сертификаты качества для полного ассортимента товаров, равна 0,7. Комиссия проверила наличие сертификатов в четырёх магазинах района. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию числа магазинов, в которых при проверке не обнаружены сертификаты качества.

1. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 350 одинаковых ящиков было взято на проверку по одной электролампе из каждого ящика. Оценить снизу вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных электроламп отличается от средней продолжительности горения всей партии по абсолютной величине меньше чем на 7 часов, если известно, что среднее квадратичное отклонение продолжительности горения электроламп в каждом ящике меньше 9 часов.

1. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что среди 500 соединений произойдёт:

Найти функцию распределения случайной величины Х . Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х .

1. Станок-автомат изготавливает валики. Считается, что их диаметр – нормально распределённая случайная величина со средним значением 10мм. Чему равно среднее квадратичное отклонение, если с вероятностью 0,99 диаметр заключён в интервале от 9,7мм до 10,3мм.

Выборка А : 6 9 7 6 4 4

Выборка В: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Вариант 17.

1. Среди 35 деталей 7 нестандартных. Найти вероятность того, что две наудачу взятые детали окажутся стандартными.

1. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях кратна 9.

1. Слово «ПРИКЛЮЧЕНИЕ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы в порядке появления образуют слово: а) ПРИКЛЮЧЕНИЕ; б) ПЛЕН.

1. В урне содержится 6 чёрных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:
1. 2 белых шара;
2. меньше чем 2 белых шара;
3. хотя бы один чёрный шар.

1. А в одном испытании равна 0,4. Найти вероятности следующих событий:
1. событие А появится 3 раза в серии из 7 независимых испытаний;
2. событие А появится не менее 220 и не более 235 раз в серии из 400 испытаний.

1. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более 3 изделий.

1. В первой урне 4 белых и 9 чёрных шаров, а во второй урне 7 белых и 3 чёрных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара, а из второй урны – 4. Найти вероятность того, что все вынутые шары одного цвета.

1. Дан закон распределения случайной величины Х :

Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

1. В коробке лежат 10 карандашей. Наудачу извлекается 4 карандаша. Случайная величина Х – число синих карандашей среди отобранных. Найти закон её распределения, начальный и центральные моменты 2-го и 3-го порядков.

1. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено количество бракованных изделий среди проверенных.

1. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,003. Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдёт:
1. хотя бы 4 неправильных соединения;
2. более двух неправильных соединений.

1. Случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти функцию распределения случайной величины Х . Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.

1. Случайная величина задана функцией распределения:

1. По выборке А решить следующие задачи:
1. составить вариационный ряд;

· выборочное среднее;

· выборочную дисперсию;

Моду и медиану;

Выборка А: 0 0 2 2 1 4

1. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

· выборочное среднее;

· выборочную дисперсию;

· стандартное выборочное отклонение;

· моду и медиану;

Выборка В: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Вариант 18.

1. Среди 10 лотерейных билетов 2 являются выигрышными. Найти вероятность того, что из взятых наудачу пяти билетов один окажется выигрышным.

1. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков больше 15.

1. Слово «ПЕРИМЕТР» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПЕРИМЕТР; б) МЕТР.

1. В урне содержится 5 чёрных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:
1. 4 белых шара;
2. меньше чем 2 белых шара;
3. хотя бы один чёрный шар.

1. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,55. Найти вероятности следующих событий:
1. событие А появится 3 раза в серии из 5 испытаний;
2. событие А появится не менее 130 и не более 200 раз в серии из 300 испытаний.

1. Вероятность нарушения герметичности банки консервов равна 0,0005. Найти вероятность того, что среди 2000 банок две окажутся с нарушением герметичности.

1. В первой урне 4 белых и 8 чёрных шаров, а во второй урне 7 белых и 4 чёрных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 2 шара и из второй урны случайным образом вынимают по три шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары одного цвета.

1. Среди поступающих на сборку деталей, с первого станка 0,1% бракованных, со второго – 0,2%, с третьего – 0,25%, с четвёртого – 0,5%. Производительности станков относятся соответственно как 4:3:2:1. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке.

1. Дан закон распределения случайной величины Х :

Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

1. У электромонтёра три лампочки, каждая из которых имеет дефект с вероятностью 0,1.. Лампочки ввинчиваются в патрон и включается ток. При включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется другой. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа опробованных лампочек.

1. Вероятность поражения цели равна 0,3 при каждом из 900 независимых выстрелов. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что цель будет поражена не менее 240 раз и не более 300 раз.

1. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что среди 800 соединений произойдёт:
1. хотя бы три неправильных соединения;
2. более четырёх неправильных соединений.

1. Случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.

1. Случайная величина задана функцией распределения:

1. По выборке А решить следующие задачи:
1. составить вариационный ряд;
2. вычислить относительные и накопленные частоты;
3. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
4. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

· выборочное среднее;

· выборочную дисперсию;

· стандартное выборочное отклонение;

· моду и медиану;

Выборка А : 4 7 6 3 3 4

1. По выборке В решить следующие задачи:
1. составить группированный вариационный ряд;
2. построить гистограмму и полигон частот;
3. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

· выборочное среднее;

· выборочную дисперсию;

· стандартное выборочное отклонение;

· моду и медиану;

Выборка В : 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Вариант 19.

1. На участке работают 16 женщин и 5 мужчин. По табельным номерам отобраны наудачу 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные люди окажутся мужчинами.

2. Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится «герб».

3. Слово «ПСИХОЛОГИЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПСИХОЛОГИЯ; б) ПОСОХ.

4. В урне содержится 6 чёрных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:

a. 3 белых шара;

b. меньше чем 3 белых шара;

c. хотя бы один белый шар.

5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,5. Найти вероятности следующих событий:

a. событие А появится 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;

b. событие А появится не менее 30 и не более 40 раз в серии из 50 испытаний.

6. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?

7. В первой урне 4 белых и 7 чёрных шаров, а во второй урне 8 белых и 3 чёрных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 4 шара, а из второй – 1 шар. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только 4 чёрных шара.

8. В салон по продаже автомобилей ежедневно поступают автомобили трёх марок в объёмах: «Москвич» – 40%; «Ока» – 20%; «Волга» – 40% от всех привезённых машин. Среди машин марки «Москвич» 0,5% имеют противоугонное устройство, «Ока» – 0,01%, «Волга» – 0,1%. Найти вероятность того, что взятая для проверки машина имеет противоугонное устройство.

9. На отрезке наудачу выбраны числа и . Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам .

10. Дан закон распределения случайной величины Х :

Х
p	0,1	0,2	0,3	0,4

Найти функцию распределения случайной величины Х ; значение F (2); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала . Построить многоугольник распределения.

X задана законом распределения вероятностей: Тогда ее среднее квадратическое отклонение равно … 0,80

Решение:
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х определяется как , где дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле .Тогда , а

Решение:
A (вынутый наудачу шар – черный) применим формулу полной вероятности: .Здесь вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар; – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен белый шар; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен черный шар.

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность равна …

Решение:
Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле . Тогда

Или . Решив последнее уравнение, получаем два корня и

Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …

Решение:
Для вычисления события А (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой где n m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А. нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть .

А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть .

Банк выдает 44% всех кредитов юридическим лицам, а 56% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,2; а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Тогда вероятность того, что очередной кредит будет погашен в срок, равна …

0,856

Решение:
Для вычисления вероятности события A (выданный кредит будет погашен в срок) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Для дискретной случайной величины Х

0,655

Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше девяти, равна …

Решение:
Для вычисления события (сумма выпавших очков будет не меньше девяти) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A . В нашем случае возможны элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида , , , , , , , и , то есть . Следовательно,

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин

функция распределения вероятностей имеет вид:

Тогда значение параметра может быть равно …

			0,7
			0,85
			0,6

Решение:
По определению . Следовательно, и . Этим условиям удовлетворяет, например, значение

Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

Тогда ее дисперсия равна …

Решение:
Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее дисперсию можно вычислить по формуле . То есть

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 6 черных шаров и 4 белых шара. Во второй урне 2 белых и 8 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар вынули из первой урны, равна …

Решение:
A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой урны; – вероятность того, что шар извлечен из второй урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны.
Тогда .
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса:

Тема: Числовые характеристики случайных величин
Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее дисперсия равна …

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

Решение:
Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин

Решение:
По определению . Тогда
а) при , ,
б) при , ,
в) при , ,
г) при , ,
д) при , .
Следовательно,

Тема: Определение вероятности
Внутрь круга радиуса 4 наудачу брошена точка. Тогда вероятность того, что точка окажется вне вписанного в круг квадрата, равна …

Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет бракованных, равна …

Решение:
Для вычисления события (среди отобранных деталей нет бракованных) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три небракованные детали из семи, то есть . Следовательно,

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Решение:
Для вычисления вероятности события A
Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда вероятность равна …

Решение:
Воспользуемся формулой . Тогда

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A
.
.

Тема: Числовые характеристики случайных величин

Тогда ее математическое ожидание равно …

Решение:
Воспользуемся формулой . Тогда .

Тема: Определение вероятности

Решение:

Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей . Тогда математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины равны …

Решение:
Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид , где , . Поэтому .

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда значения a и b могут быть равны …

Решение:
Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то . Этому условию удовлетворяет ответ: .

Тема: Определение вероятности
В круг радиуса 8 помещен меньший круг радиуса 5. Тогда вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет также и в меньший круг, равна …

Решение:
Для вычисления вероятности искомого события воспользуемся формулой , где – площадь меньшего круга, а – площадь большего круга. Следовательно, .

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 3 черных шара и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых шара и 5 черных шаров. Из первой урны переложили один шар во вторую урну. Тогда вероятность того, что шар, вынутый наудачу из второй урны, будет белым, равна …

			0,47
			0,55
			0,35
			0,50

Решение:
Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар; – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен белый шар; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен черный шар.
Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Для дискретной случайной величины :

функция распределения вероятностей имеет вид:

Тогда значение параметра может быть равно …

			0,7
			0,85
			0,6

ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Банк выдает 70% всех кредитов юридическим лицам, а 30% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, равна …

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A (выданный кредит не будет погашен в срок) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда
.
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, по формуле Байеса:
.

ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …

Решение:
Для вычисления события (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть . Следовательно,

ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Тогда ее дисперсия равна …

Решение:
Дисперсию непрерывной случайной величины можно вычислить по формуле

Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

Решение:
По определению . Тогда
а) при , ,
б) при , ,
в) при , ,
г) при , ,
д) при , .
Следовательно,

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Имеются три урны, содержащие по 5 белых и 5 черных шаров, и семь урн, содержащих по 6 белых и 4 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар белый, равна …

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Решение:
Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн; – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн.
Тогда .

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда вероятность равна …

Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков – десять, равна …

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Случайные величины, их классификация и способы описания.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, но какое именно заранее не известно. Для случайной величины, таким образом, можно указать только значения, одно из которых она обязательно примет в результате опыта. Эти значения в дальнейшем будем называть возможными значениями случайной величины. Так как случайная величина количественно характеризует случайный результат опыта, она может рассматриваться как количественная характеристика случайного события.

Случайные величины обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например, X..Y..Z, а их возможные значения- соответствующими малыми буквами.

Различают три типа случайных величин:

Дискретные; Непрерывные; Смешанные.

Дискретной называется такая случайная величина, число возможных значений которой образует счетное множество. В свою очередь, счетным называется множество, элементы которого можно пронумеровать. Слово «дискретный» происходит от латинского discretus , что означает «прерывистый, состоящий из отдельных частей» .

Пример 1. Дискретной случайной величиной является число бракованных деталей Х в партии из nтук. Действительно, возможными значениями этой случайной величины является ряд целых чисел от 0 до n.

Пример 2. Дискретной случайной величиной является число выстрелов до первого попадания в цель. Здесь, как и в примере 1, возможные значения можно пронумеровать, хотя в предельном случае возможное значение является бесконечно большим числом.

Непрерывной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал числовой оси, называемый иногда интервалом существования этой случайной величины. Таким образом, на любом конечном интервале существования число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно велико.

Пример 3. Непрерывной случайной величиной является расход электроэнергии на предприятии за месяц.

Пример 4. Непрерывной случайной величиной является ошибка измерения высоты с помощью высотомера. Пусть из принципа работы высотомера известно, что ошибка лежит в пределах от 0 до 2 м. Поэтому интервалом существования данной случайной величины является интервал от 0 до 2 м.

Закон распределения случайных величин.

Случайная величина считается полностью заданной, если на числовой оси указаны ее возможные значения и установлен закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она распределена по данному закону, или подчинена данному закону распределения. В качестве законов распределения используются ряд вероятностей, функция распределения, плотность вероятности, характеристическая функция.

Закон распределения дает полное вероятное описание случайной величины. По закону распределения можно судить до опыта о том какие возможные значения случайной величины будут появляться чаще, а какие – реже.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. 1

События Х 1 , Х 2 ,..., Х n , состоящие в том, что в результате испытания случайная величина X примет соответственно значения х 1 , x 2 ,...х n являются несовместными и единственно возможными (ибо в таблице перечислены все возможные значения случайной величины), т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины

(Эта единица как-то распределена между значениями случайной величины, отсюда и термин «распределение»).

Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей (рис. 1).

Пример В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение . Возможные значения случайной величины X - чистого выигрыша на один билет - равны 0-7 = -7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1, и используя классическое определение вероятности, получим.

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными .

Дискретная случайная величина - это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.

Пример 1 . Приведем примеры дискретных случайных величин:

а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).

г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины . Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end{array}$

Пример 2 . Пусть случайная величина $X$ - число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end{array}$

Замечание . Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum{p_i}=1$.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.

Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
2. Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $M\left(C\right)=C$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}=1\cdot {{1}\over {6}}+2\cdot {{1}\over {6}}+3\cdot {{1}\over {6}}+4\cdot {{1}\over {6}}+5\cdot {{1}\over {6}}+6\cdot {{1}\over {6}}=3,5.$$

Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.

Пример 4 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.

Пример 5 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.

3. Дисперсия дискретной случайной величины.

Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе - только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}.\ $$

В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix^2_i}-{\left(M\left(X\right)\right)}^2$.

Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:

1. Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $D\left(C\right)=0$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Пример 6 . Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}={{1}\over {6}}\cdot {\left(1-3,5\right)}^2+{{1}\over {6}}\cdot {\left(2-3,5\right)}^2+\dots +{{1}\over {6}}\cdot {\left(6-3,5\right)}^2={{35}\over {12}}\approx 2,92.$$

Пример 7 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Функция распределения дискретной случайной величины.

Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины - функция распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$

Свойства функции распределения :

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - неубывающая.
4. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 9 . Найдем функцию распределения $F\left(x\right)$ для закона распределения дискретной случайной величины $X$ из примера $2$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end{array}$

Если $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (в том числе и при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X < 1\right)=0$).

Если $1 < x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Если $2 < x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Если $3 < x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Если $4 < x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Если $5 < x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Если $x > 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.

Итак, $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6,при\ 1 < x\le 2,\\
1/3,\ при\ 2 < x\le 3,\\
1/2,при\ 3 < x\le 4,\\
2/3,\ при\ 4 < x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4 < x\le 5,\\
1,\ при\ x > 6.
\end{matrix}\right.$

Определение 1

Случайная величина $Х$ называется дискретной (прерывной), если множество ее значений бесконечное или конечное, но счетное.

Другими словами, величина называется дискретной, если ее значения можно занумеровать.

Описать случайную величину можно с используя закона распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны все возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений:

Рисунок 1.

где $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Даная таблица является рядом распределения дискретной случайной величины .

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ сходится и его сумма будет равна $1$.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ можно представить графически, для чего в системе координат (прямоугольной) строят ломаную линию, которая последовательно соединяет точки с координатами $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Линию, которую получили называют многоугольником распределения .

Рисунок 2.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть также представлен аналитически (с помощью формулы):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Действия над дискретными вероятностями

При решении многих задач теории вероятности необходимо проводить операции умножения дискретной случайной величины на константу , сложения двух случайных величин, их умножения, поднесения к степени. В этих случаях необходимо придерживаться таких правил над случайными дискретными величинами:

Определение 3

Умножением дискретной случайной величины $X$ на константу $K$ называется дискретная случайная величина $Y=KX,$ которая обусловлена равенствами: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)=p_i,\ \ i=\overline{1,\ n}.$

Определение 4

Две случайные величины $x$ и $y$ называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приобрела вторая величина.

Определение 5

Суммой двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=X+Y,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_i+y_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Определение 6

Умножением двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=XY,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_iy_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Примем во внимание, что некоторые произведения $x_{i\ \ \ \ \ }y_j$ могут быть равными между собой. В таком случае вероятность сложения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.

Например, если $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $то вероятность $x_2y_3$ (или тоже самое $x_5y_7$) будет равна $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7.$

Сказанное выше касается также и суммы. Если $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ то вероятность $x_1+\ y_2$ (или тоже самое $x_4+\ y_6$) будет равняться $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Пусnm случайные величины $X$ и $Y$ заданы законами распределения:

Рисунок 3.

Где $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Тогда закон распределения сумы $X+Y$ будет иметь вид

Рисунок 4.

А закон распределения произведения $XY$ будет иметь вид

Рисунок 5.

Фунция распределения

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Геометрически функция распределения разъясняется как вероятность того, что случайная величина $Х$ принимает значение, которое на числовой прямой изображается точкой, лежащей с левой стороны от точки $х$.