Уравнение с одной переменной 7. Линейное уравнение с одной переменной (7 класс)
Уравнение
– это равенство, в котором присутствует одна или несколько переменных.
Мы рассмотрим случай, когда в уравнении одна переменная, то есть одно неизвестное число. По сути, уравнение – это вид математической модели . Поэтому в первую очередь уравнения необходимы нам для решения задач.
Вспомним, как составляется математическая модель для решения задачи.
Например, в новом учебном году количество учащихся в школе №5 увеличилось вдвое. После того, как 20 учеников перешли в другую школу, в общей сложности в школе №5 стало учиться 720 учеников. Сколько учащихся было в прошлом году?
Нам нужно выразить то, что сказано в условии математическим языком . Пусть количество учащихся в прошлом году будет X. Тогда согласно условию задачи,
2X – 20 = 720. У нас получилась математическая модель, которая представляет собой уравнение с одной переменной
. Если точнее, то это уравнение первой степени с одной переменной. Осталось найти его корень.
Что такое корень уравнения?
То значение переменной, при котором наше уравнение обратится в верное равенство, называется корнем уравнения. Бывают такие уравнения, у которых много корней. Например, в уравнении 2*X = (5-3)*X любое значение X является корнем. А уравнение X = X +5 вообще не имеет корней, так как какое бы мы не подставили значение X, у нас не получится верное равенство. Решить уравнение означает найти все его корни, или определить, что оно не имеет корней. Таким образом, чтобы ответить на наш вопрос, нам нужно решить уравнение 2X – 20 = 720.
Как решать уравнения с одной переменной?
Для начала запишем базовые определения. Каждое уравнение имеет правую и левую части. В нашем случае, (2X – 20) – левая часть уравнения (она стоит слева от знака равенства), а 720 – правая часть уравнения. Слагаемые правой и левой части уравнения называются членами уравнения. У нас членами уравнения являются 2X, -20 и 720.
Сразу скажем про 2 свойства уравнений:
- Любой член уравнения можно переносить из правой части уравнения в левую, и наоборот. При этом надо изменить знак этого члена уравнения на противоположный. То есть, записи вида 2X – 20 = 720, 2X – 20 – 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 – 2X равносильны.
- Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число. Это число не должно быть равно нулю. То есть, записи вида 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 также равносильны.
Перенесем -20 в правую часть с противоположным знаком. Получим:
2X = 720 + 20. Сложим то, что у нас в правой части. Получим, что 2X = 740.
Теперь разделим левую и правую части уравнения на 2.
2X:2 = 740:2 или X = 370. Мы нашли корень нашего уравнения и заодно нашли ответ на вопрос нашей задачи. В прошлом году в школе №5 было 370 учеников.
Проверим, действительно ли наш корень обращает уравнение в верное равенство. Подставим вместо X число 370 в уравнение 2X – 20 = 720.
2*370-20 = 720.
Все верно.
Итак, чтобы решить уравнение с одной переменной его нужно привести к так называемому линейному уравнению вида ax = b, где a и b – некоторые числа. Затем левую и правую часть разделить на число a. Получим, что x = b:a.
Что означает привести уравнение к линейному уравнению?
Рассмотрим такое уравнение:
5X - 2X + 10 = 59 - 7X +3X.
Это также уравнение с одной неизвестной переменной X. Наша задача привести это уравнение к виду ax = b.
Для этого сначала соберем все слагаемые, имеющие в качестве множителя X в левой части уравнения, а остальные слагаемые - в правой части. Слагаемые, имеющие в качестве множителя одну и ту же букву, называют подобными слагаемыми.
5X - 2X + 7X – 3X = 59 – 10.
Согласно распределительному свойству умножения мы можем вынести одинаковый множитель за скобки, а коэффициенты (множители при переменной x) сложить. Этот процесс также называют приведением подобных слагаемых.
X(5-2+7-3) = 49.
7X = 49. Мы привели уравнение к виду ax = b, где a = 7, b = 49.
А как мы написали выше, корнем уравнения вида ax = b будет x = b:a.
То есть X = 49:7 = 7.
Алгоритм нахождения корней уравнения с одной переменной.
- Собрать подобные слагаемые в левой части уравнения, остальные слагаемые – в правой части уравнения.
- Привести подобные слагаемые.
- Привести уравнение к виду ax = b.
- Найти корни по формуле x = b:a.
Класс: 7
Урок № 1.
Тип урока: закрепление пройденного материала.
Цели урока:
Образовательные:
- формирование навыка решения уравнения с одним неизвестным сведением его к линейному уравнению с помощью свойств равносильности.
Развивающие:
- формирование ясности и точности мысли, логического мышления, элементов алгоритмической культуры;
- развитие математической речи;
- развитие внимания, памяти;
- формирование навыков само и взаимопроверки.
Воспитательные:
- формирование волевые качества;
- формирование коммуникабельность;
- выработка объективной оценки своих достижений;
- формирование ответственности.
Оборудование: интерактивная доска, доска для фломастеров, карточки с заданиями для самостоятельной работы, карточки для коррекции знаний для слабоуспевающих учащихся, учебник, рабочая тетрадь, тетрадь для домашних работ, тетрадь для самостоятельных работ.
Ход урока
2. Проверка домашнего задания – 4 мин.
Учащиеся проверяют домашнюю работу, решение которой выведено с обратной стороны доски одним из учащихся.
3. Устная работа– 6 мин.
(1) Пока идет устный счет, слабоуспевающие учащиеся получают карточку для коррекции знаний и выполняют 1), 2), 4) и 6) задания по образцу. (См. Приложение 1. )
Карточка для коррекции знаний.
(2) Для остальных учащихся задания проецируются на интерактивную доску: (См. Презентацию : Слайд 2 )
- Вместо звездочки поставь знак “+” или “–”, а вместо точек – числа:
а) (*5)+(*7) = 2;
б) (*8) – (*8) = (*4)–12;
в) (*9) + (*4) = –5;
г) (–15) – (*…) = 0;
д) (*8) + (*…) = –12;
е) (*10) – (*…) = 12. - Составь уравнения, равносильные уравнению:
а) х – 7 = 5;
б) 2х – 4 = 0;
в) х –11 = х – 7;
г) 2(х –12) = 2х – 24.
3. Логическая задача: Вика, Наташа и Лена в магазине купили капусту, яблоки и морковь. Все купили разные продукты. Вика купила овощ, Наташа – яблоки или морковь, Лена купила не овощ. Кто что купил? (Один из учащихся, выполнивший задание выходит к доске и заполняет таблицу.) (Слайд 3)
| Вика | Наташа | Лена | |
| К | |||
| Я | |||
| М |
Заполнить таблицу
| Вика | Наташа | Лена | |
| К | + | – | – |
| Я | – | – | + |
| М | – | + | – |
4. Обобщение умения решать уравнения сведением их к линейному уравнению –9 мин.
Коллективная работа с классом. (Слайд 4)
Решим уравнение
12 – (4х – 18) = (36 + 5х) + (28 – 6х). (1)
для этого выполним следующие преобразования:
1. Раскроем скобки. Если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки:
12 – 4х + 18 = 36 + 5х + 28 – 6х. (2)
Уравнения (2) и (1) равносильны:
2. Перенесем с противоположными знаками неизвестные члены так, чтобы они были только в одной части уравнения (или в левой, или в правой). Одновременно перенесем известные члены с противоположными знаками так, чтобы они были только в другой части уравнения.
Например, перенесем с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные – в правую часть уравнения, тогда получим уравнение
– 4х – 5х + 6х = 36 + 28 – 18 - 12, (3)
равносильное уравнению (2) , а следовательно, и уравнению (1) .
3. Приведем подобные слагаемые:
–3х = 34. (4)
Уравнение (4) равносильно уравнению (3) , а следовательно, и уравнению (1) .
4. Разделим обе части уравнения (4) на коэффициент при неизвестном.
Полученное уравнение х = будет равносильно уравнению (4), а следовательно, и уравнениям (3), (2), (1)
Поэтому корнем уравнения (1) будет число
По этой схеме (алгоритму) решаем уравнения на сегодняшнем уроке:
- Раскрыть скобки.
- Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.
- Привести подобные члены.
- Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.
Примечание: следует отметить, что приведенная схема не является обязательной, так как часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными. При решении же других уравнений бывает проще отступить от этой схемы, как, например, в уравнении:
7(х – 2) = 42.
5. Тренировочные упражнения – 8 мин.
№ № 132(а, г), 135(а, г), 138(б, г) – с комментарием и записью на доске.
6. Самостоятельная работа – 14 мин. (выполняется в тетрадях для самостоятельных работ с последующей взаимопроверкой проверкой; ответы будут отображены на интерактивной доске)
Перед самостоятельной работой учащимся будет предложено задание на сообразительность – 2 мин.
Не отрывая карандаша от бумаги и не проходя дважды по одному и тому же участку линии, начертите распечатанное письмо. (Слайд 5)
(Учащиеся используют пластиковые листы и фломастеры.)
1. Решить уравнения (на карточках) (См. Приложение 2 )
Дополнительное задание № 135 (б, в).
7. Подведение итогов урока – 1 мин.
Алгоритм сведения уравнения к линейному уравнению.
8. Сообщение домашнего задания – 2 мин.
п.6, № № 136 (а-г), 240 (а), 243(а, б), 224 (Разъяснить содержание домашнего задания).
Урок № 2.
Цели урока:
Образовательные:
- повторение правил, систематизация, углубление и расширение ЗУНов учащихся по решению линейных уравнений;
- формирование умения применять полученные знания при решении уравнений различными способами.
Развивающие:
- развитие интеллектуальных умений: анализа алгоритма решения уравнения, логического мышления при построении алгоритма решения уравнения, вариативности выбора способа решения, систематизации уравнений по способам решения;
- развитие математической речи;
- развитие зрительной памяти.
Воспитательные:
- воспитание познавательной активности;
- формирование навыков самоконтроля, взаимоконтроля и самооценки;
- воспитание чувства ответственности, взаимопомощи;
- привитие аккуратности, математической грамотности;
- воспитание чувства товарищества, вежливости, дисциплинированности, ответственности;
- Здоровьесбережение.
а) образовательная: повторение правил, систематизация, углубление и расширение ЗУНов учащихся по решению линейных уравнений;
б) развивающая: развитие гибкости мышления, памяти, внимания и сообразительности;
в) воспитательная: привитие интереса к предмету и к истории родного края.
Оборудование: интерактивная доска, сигнальные карточки (зеленая и красная), листы с тестовой работой, учебник, рабочая тетрадь, тетрадь для домашних работ, тетрадь для самостоятельных работ.
Форма работы: индивидуальная, коллективная.
Ход урока
1. Организационный момент – 1мин.
Поприветствовать учащихся, проверить их готовность к уроку, объявить тему урока и цель урока.
2. Устная работа – 10 мин.
(Задания для устного счета выводятся на интерактивную доску.) (Слайд 6)
1) Решите задачи:
а) Мама старше дочери на 22 года. Сколько лет маме, если им вместе 46 лет
б) В семье трое братьев и каждый следующий младше предыдущего в два раза. Вместе
всем братьям 21 год. Сколько лет каждому?
2) Решите уравнения: (Пояснить)
4) Пояснить задания из домашней работы, вызвавшие затруднение.
3. Выполнение упражнений – 10 мин. (Слайд 8)
(1) Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения:
а) x > 1;
б) x < 0;
в) x > 0;
г) x < –1.
(2) При каком значении выражении у значение выражения 2у – 4 в 5 раз меньше значения выражения 5у – 10?
(3) При каком значении k уравнение kx – 9 = 0 имеет корень равный – 2?
Посмотри и запомни (7 секунд). (Слайд 9)
Через 30 секунд учащиеся воспроизводят рисунок на пластиковых листах.
4. Физкультминутка – 1,5 мин.
Упражнение для глаз и для рук
(Учащиеся смотрят и повторяют упражнения, которые проецируются на интерактивную доску.)
5. Самостоятельная тестовая работа – 15 мин.
(Учащиеся выполняют тестовую работу в тетрадях для самостоятельных работ, дублируя ответы в рабочих тетрадях. Сдав тесты, учащиеся сверяют ответы с ответами, отображенными на доске)
Учащиеся, справившиеся с работой раньше всех, помогают слабоуспевающим учащимся.
 |
 |
6. Подведение итогов урока – 2 мин.
– Какое уравнение с одной переменной называется линейным?
– Что называется корнем уравнения?
– Что значит “решить уравнение”?
– Сколько корней может иметь уравнение?
7. Сообщение домашнего задания. – 1 мин.
п.6, № № 294(а, б),244, 241(а, в), 240(г) – Уровень А, В
п.6, № № 244, 241(б, в), 243(в),239, 237– Уровень С
(Разъяснить содержание домашнего задания.)
8. Рефлексия – 0,5 мин.
– Вы довольны своей работой на уроке?
– Какой вид деятельности вам понравился больше всего на уроке.
Литература:
- Алгебра 7. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Пешков, С.В. Суворова. Под редакцией С.А. Теляковского. / М.: Просвещение, 1989 – 2006.
- Сборник тестовых заданий для тематического и итогового контроля. Алгебра 7 класс/ Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбакова Н.В. . Общая ред.: Татур А.О. – М.: “Интеллект-Центр” 2009 – 160 с.
- Поурочное планирование по алгебре. / Т.Н.Ерина. Пособие для учителей /М: Изд. “Экзамен”, 2008. – 302, с.
- Карточки для коррекции знаний по математике для 7 класса./ Левитас Г.Г. /М.: Илекса, 2000. – 56 с.
План урока по алгебре в 7В классе.
Линейное уравнение с одной переменной.
(04.10.2012г.)
Цель урока . Формирование навыка решения уравнения с одним неизвестным, сведением его к линейному уравнению с помощью свойств равносильности.
Тип урока : комбинированный.
Задачи урока :
1) образовательная:
Познакомить учащихся с видом линейного уравнения и способом его решения, добиться усвоения правила решения линейных, его понимания и умения пользоваться им при решении;
2) развивающая:
продолжить формирование математических знаний и приемов умственной деятельности (умение анализировать ситуацию и ориентироваться в действиях, научиться выполнять новое действие, довести его до автоматизации). Формировать элементы математической логики.
3) воспитательная:
формирование навыка пошаговой работы под руководством учителя (объяснение нового материала, первоначальное закрепление), восприятия информации на слух (карточки), формирования самооценки (рефлексия).
Ход урока
I. Проверка домашней работы фронтально.
II. Устная работа (на карточках)
Цель устной работы : диагностика формирования навыков решения линейных уравнений с одной переменной.
1. Вместо (*) поставить знак «+» или «-», а вместо точек – числа:
а) (*5)+(*7)=2;
б) (*8)-(*8)=(*4)-12;
в) (*9)+(*4)=-5;
г) (-15)-(*…)=0;
д) (*8)+(*…)=-12;
е (*10)-(*…)=12.
2. Составить уравнения, равносильные уравнению:
а) х-7=5;
б) 2х-4=0;
в) х-11=х-7;
г) 2(х-12)=2х-24.
III . Обобщение умения решать уравнения сведением их к линейному уравнению.
Коллективная работа с классом.
Форма коллективной работы: фронтальная
Решим уравнение
12 - (4х-18)=(36+5х)+(28 – 6х). (1)
Для этого выполним следующие преобразования:
1. Раскроем скобки. Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобках. Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобках:
12 - 4х+18=36+5х+28 – 6х. (2)
Уравнения (2) и (1) равносильны.
2. Перенесём с противоположными знаками неизвестные члены так, чтобы они были только в одной части уравнения (или в левой, или в правой). Одновременно перенесём известные члены с противоположными знаками так, чтобы они были только в другой части уравнения.
Например, перенесём с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные – в правую часть уравнения, тогда получим уравнение
4х-5х+6х=36+28-18, (3)
равносильное уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).
3. Приведём подобные слагаемые:
3х=46. (4)
Уравнение (4) равносильно уравнению (3), а следовательно, и уравнению (1).
4. Разделим обе части уравнения (4) на коэффициент при неизвестном. Полученное уравнение х=46/-3 или -15 1/3 будет равносильно уравнению (4), а следовательно, и уравнениям (3), (2), (1).
Поэтому корнем уравнения (1) будет число -15 1/3.
По этой схеме (алгоритму) решаем уравнения на сегодняшнем уроке:
1. Раскрыть скобки.
2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.
3. Привести подобные слагаемые.
4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.
Примечание: следует отметить, что приведённая схема не является обязательной, так как часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными. При решении же других уравнений бывает проще отступить от этой схемы, как, например, в уравнении:
7(х-2)=42.
IV . Тренировочные упражнения.
№№ 132(а, г), 133 (а, г), 136 (в), 138 (г) – с записью на доске.
№132. Найдите корень уравнения:
а) (13х-15)-(9+6х)=-3х
Раскроем скобки:
13х-15-9-6х=-3х.
Перенесём с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные – в правую часть уравнения, тогда получим уравнение:
13х-6х+3х=15+9.
Приведём подобные слагаемые.
10х=24.
Разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.
х=2,4
Ответ: 2,4
г) (0,5х+1.2)-(3.6-4,5х)=(4.8-0,3х)+(10,5х+0,6);
0,5х+1,2-3,6+4,5х=4.8-0,3х+10,5х+0,6;
0,5х+4,5х+0,3х-10,5х=4,8+0,6-1,2+3,6;
5,2х=7,8;
х=-1,5
Ответ: -1,5
№133 Найдите корень уравнения:
а) 5(3х+1,2) + х = 6,8,
15х + 6 + х = 6,8,
15х + х = 6,8 – 6,
16х = 0,8,
х = 0,8: 16,
х = 0,05,
Ответ: 0,05
г) 5,6 - 7у = - 4(2у – 0,9) + 2, 4,
5,6 – 7у = - 8у + 3, 6 + 2,4,
8у – 7у = 3,6 + 2.4 – 5,6,
у = 0,4,
Ответ: 0,4
№ 136. Решите уравнение:
в) 0,8х – (0,7х + 0,36) = 7,1,
0,8х – 0,7х – 0,36 = 7,1,
0,1х = 0,36 + 7,1,
0,1х = 7,46,
х = 7,46: 0,1,
х = 74,6
Ответ: 74,6.
№ 138. Найдите корень уравнения:
г) -3(у + 2.5) = 6,9 – 4,2у,
3у – 7,5 = 6,9 – 4,2у,
4,2у – 3у = 6,9 + 7,5,
1,2у = 14,4,
у = 14,4: 1,2,
у = 12,
Ответ: 12
V . Самостоятельная работа с учетом индивидуальных способностей учащихся.
I . Вариант.
1. Чтобы решить уравнение 5х = -40, надо -40 разделить на 5. Чему равен корень этого уравнения?
2. Подчеркните коэффициент при х и решите уравнения:
а) 7х = 49;
6) - Зх = 111;
в) 12х = 1.
3. Решая уравнение 12х = -744, Коля нашел, что х = -62. Подставив вместо х число - 62, проверьте, правильно ли найден корень уравнения.
4. Решите уравнения.
а) 6х = 24;
б) 13х = -39;
в) 8х = 4;
г) 6х = 7,5; д)7х = 63;
е)- 4х = 12;
ж) 9х = - 3;
з) 9х = 0,36.
5. При каком значении х:
а) значение выражения 8х равно -64;
б) значение выражения 7х равно 1;
в) значение выражения -х равно 11?
6. Перенесите слагаемые, содержащие х в левую часть уравнения, а остальные в правую, изменив при этом их знаки на противоположные:
а) 2х - 3 = 5х + 8; в) -2х - 5 = 6х - 8;
б) 4х - 12 = -Зх + 3; г) -4х - 2 = -13х + 21.
7. Доведите решение уравнения до конца:
а) 2х - 4 = -8х + 12; б) Зх - 2 = 7х - 14;
в) 2х + 8х = 12 + 4 г)Зх - 7х = -14 + 2
8. Решите уравнение:
а) Зх + 8 = х - 12;
б) х + 4 = 3 - 2х;
в) 5у = 2у + 16;
г) -2х + 9 - 8= х - 1.
9. Решите уравнение:
а) 1,2х = -4,8; г) Зх - 4 = 11; ж) 2х - 1 = Зх + 6;
б) -6х = 7,2; д) 5 - 2х = 0; з) х - 8 = 4х - 9;
В)-Х = -0,6; е)-12 - х = 3; и) 5 - 6х = 0,3 - 5х.
10. При каком значении а
а) значение выражения 3 + 2а равно 43,
б) значение выражения 12 - а равно 100;
в) значения выражений 13а+17 и 5а + 9 равны;
г) значения выражений 5а + 14 и 2а + 7 являются противо положными числами?
II . Вариант
1. Для каждого уравнения вида ах = в запишите, чему равно а и чему равно в:
а) 2,3х = 6,9;
б) –х = -1;
в) - х = 6;
г) 1,2х = 0.
2. а) Закончите запись: чтобы решить уравнение ах = в, в котором а = 0, надо...
б) Решите уравнение 12х = -60 и выполните проверку.
3. Решите уравнение:
1) а) 2х = 12; б) -5х = 15; в) - х = 32; г) -11х = 0;
2) а) 3х = 5; б) - 6х = -15; в) 29х = - 27; г) 16х = - 1;
3) а) 5х = 1/3|; б)4х = - 2/7; в) 1/3х = 6; г) -2/7х = 14.
4) а) 0,01х = 6,5; б)- 1.4х = 0,42; в) 0,Зх = 10; г)-0,6x = - 0,5.
4. При каком значении х:
а) значение выражения 5х равно - 1;
б) значение выражения -0,1х равно 0,5;
в) значение выражения 16х равно 0?
5. На доске было записано решение уравнения вида ах = в, но правую часть уравнения стерли. Восстановите ее:
а) 5х = ... б) Зх = ... в) 4х = ...
х = -12; х=1/6; х = 0,8.
6. Найдите такое значение а, при котором уравнение ах = 114 имеет корень 6.
7. Решите уравнение:
а) Зх-4 = 20
б) 54 - 5х ~ -6;
в) 1,2 - 0.Зх = 0;
г)16-7х = 0;
д) 5/6-х = 1/6
8. Решите уравнение:
а) 5х-11 = 2х+8; г) 0,8х-4 = 0,5-7;
б) 6-7х = 11- 6х; д) 2,6х+8 = 2-х;
в) 3 - х = х+13; е) 12 + 1/3x = 15 - 1/6x
9. При каком значении а:
а) значение выражения 5-За равно 17;
б) значение выражений 3-2а и 5а+10 равны;
в) значение выражения 5 - 9а на 4 больше значения выражения а+1;
г) значение выражения 7+8а на 5 меньше значения выражения 2а+1?
10. Решите уравнение:
а) 15(х+2) = 40; в) 5(2х+1) = 3(2-х);
б) - 2(1-х) = х; г) -6(2-х)-5(1+х).
11. Решите уравнение:
а) 43+4х+(11-5х) = 7; г) 6(х+11)-7х = 73+х;
б) 12-4х – (2+х) = 5х; д) 8(3-х)- 12+6х = 25-х;
в) 5х+12-3(х+16) = - 20; е) 6-х-3(2-5х) - 12+8х.
Для самоконтроля: после раскрытия скобок получается уравнение:
а) 43+4х+11-5х = 7; г) 6х+66-7х = 73+х;
б) 12-4х-2-х = 5х; д) 24-8х-12+6х - 25-х;
в) 5х+12-Зх-48 = -20; е) 6-х-6+15х = 12+8х.
III . Вариант
1. Решите уравнение:
а) 6х = 36; в) -х = 18; д) 49х = 0; ж) 21х = - 3;
б) 5х=5/7; г)11х = -1/3; в) 1/3х = 0; д) -3/7х = - 1;
2. Решите уравнение и выполните проверку:
а) 0,08х - 1; в) – 0,1х = 1; д) 0,6х = - 5; ж) – 0,3х = - 1,1;
б) 0.Зх = 1/3; г) – 1/7х = 0; е) 0,2х = 1/7 з) - 3,6х - - 6.
3. Составьте какое-либо уравнение вида ах = в, которое
а) имеет корнем число 3;
б) имеет корнем число 0;
в) не имеет корней;
г) имеет бесконечно много корней.
4. При каких значениях х
А) значение выражения 1/3х равно 3;
б) значение выражения - 0,8х равно 0;
в) значение выражения 0,01х равно 30;
г) значение выражения -15х равно – 0,1.
5. Решив уравнение вида ах = в, ученик стер коэффициент а. Восстановите его, если это возможно:
а) …х = 1/8 б) …х = -4 в) …х = 0
х=4 х= - 1 х = 0
6 . При каких целых значениях а корнем уравнения ах = 8 является целое число?
8. Даны выражения За+2 и а-5. При каких значения а
а) значения этих выражений равны;
б) значение первого выражения на 12 больше значения второго;
в) значение первого выражения на 7 меньше значения второго;
г) значение первого выражения в 5 раз больше значения вто-
рого?
9. Решите уравнение:
а) - (2х+1) = 41; г) 5(х-1) - 3(2х+2) = - 1;
б) 5(12-х) = 27; д) 12(1-х) - 4 = 2(4х+6);
в) 1,2(2х-1) = 3,6; е) 0,5(2х-1) - х = 6,5.
10. Для уравнения ах-11 = Зх+1 найдите
а) значения а, при которых корнем этого уравнения число 6;
б) значения а, при которых это уравнение не имеет корней;
в) натуральные значения а, при которых корнем уравнения является натуральное число.
11. Решите уравнение:
а) 5(х - 18) - 7х = 21+х; г) 6(х - 1)+12(3 - 2х) = 45 - 17х;
б) Зх+6(1 - х) = - 2(2+х); д) 15(3 - х) - 5(х+11) = 1 - 19х;
в) 1,7 - 8(х - 1) = 3,7+2х; е) - (5 - х) - 8(6+х) = 11,8+х.
VI . Итог урока. Алгоритм сведения уравнения к линейному уравнению.
VII . Домашнее задание : п. 3, №№ 128, 129, 131.
Проверка показала, что учащиеся выполнили эти задания, т. е усвоили данную тему.
Самоанализ урока
1. В классе обучаются 25 учащихся. Пять человек могут учиться на 4-5, 8 человек на четвёрки, остальные без направляющей помощи учиться не могут. При планировании урока это было учтено и определило выбор методов и приёмов изложения нового материала и способов закрепления полученных знаний.
2. Это второй урок по теме «Уравнения с одной переменной». В этом учебном году данный материал изучался, в начале урока была проведена актуализация знаний в виде напоминания учителем нужных сведений. Данный урок важен для последующего изучения темы «Линейная функция» в курсе алгебры. Специфика - много понятий, моделей, знаний, которые лучше систематизировать и оформить в виде конспекта. Тип урока - комбинированный урок.
3. На уроке решались следующие задачи:
Дидактическая цель урока: Способствовать осознанию и осмыслению новой учебной информации о геометрической и аналитической моделях линейного уравнения с одной переменной.
Образовательная цель: Сформировать понятие линейного уравнения и методов его решения и добиться понимания сути его названия, обозначения и алгебраической записи.
Развивающая цель : Способствовать развитию умения моделировать ситуацию и систематизировать знания в виде таблицы.
Воспитательная цель: Формирование чувства собственного достоинства, уважения к интеллектуальному труду.
Комплексность их решения продумана. Главными были обучающие задачи, при их решении попутно решались и развивающие, и воспитывающие задачи. Развивающая задача решалась через приёмы доступного изучения материала, а воспитывающая уже на этапе выбора класса для открытого урока.
4. Данная структура урока продиктована невозможностью учащимися долго и сосредоточенно воспринимать однообразно излагаемый материал. Поэтому более плотнен и динамичен урок в первой половине. Опрос проводился с целью актуализации имеющихся знаний и закрепления новых. Связки между этапами логичны. Домашнее задание содержит три номера, выполнить учащиеся могут то количество, которое пожелают: на 3-один номер, на 4-два, на 5-три.
5. Главный акцент делался на понятиях: линейное уравнение, корень уравнения. Выбраны главные понятия темы, отрабатывается навыки обозначать, называть, записывать алгебраическую модель числового промежутка.
6. Методы обучения выбраны частично-поисковые, наглядные, деятельностные.
7. Необходимости применения методов дифференцированного обучения не было. Достаточно оказания индивидуальной помощи.
8. Контроль усвоения знаний осуществлялся наблюдением за самостоятельностью и активностью учащихся, так как изучался новый материал.
9. Использовались средства обучения: Учебник Ю.Н.Макарычев и др.-2009 год, карточки для устной и индивидуальной работы, активно использовалась доска.
10. Задачи реализованы полностью.
На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям.
Уравнение и его корни
Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями . Решить уравнение , значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения .
Уравнения могут иметь, как один корень, так и несколько или вообще ни одного.
При решении уравнений используются следующие свойства:
- если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.
- если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, то получится уравнение равносильное данному.
Пример №1 Какие из чисел: -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения:
Чтобы решить данное задание необходимо просто поочередно подставить вместо переменной x каждое из чисел и выделить те числа, при которых равенство считается верным.
При «х= -2»:
\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)
\(4=4 \) - равенство верное, значит (-2) - корень нашего уравнения
При «х= -1»
\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)
\(1=7 \) - равенство неверное, поэтому (-1) - не является корнем уравнения
\(0^2=10-3 \cdot 0 \)
\(0=10 \) - равенство неверное, поэтому 0 не является корнем уравнения
\(2^2=10-3 \cdot 2 \)
\(4=4 \) - равенство верное, значит 2 - корень нашего уравнения
\(3^2=10-3 \cdot 3 \)
\(9=1 \) - равенство неверное, поэтому 3 не является корнем уравнения
Ответ: из представленных чисел, корнями уравнения \(x^2=10-3x \) являются числа -2 и 2.
Линейное уравнение с одной переменной - это уравнения вида ax = b, где x - переменная, а a и b - некоторые числа.
Существует большое количество видов уравнений, но решение многих из них сводится именно к решению линейных уравнений, поэтому знание этой темы обязательно для дальнейшего обучения!
Пример №2 Решить уравнение: 4(x+7) = 3-x
Для решения данного уравнения, в первую очередь, нужно избавиться от скобки, а для этого домножим на 4 каждое из слагаемых в скобке, получаем:
4х + 28 = 3 - х
Теперь нужно перенести все значения с «х» в одну сторону, а все остальное в другую сторону (не забывая менять знак на противоположный), получаем:
4х + х = 3 - 28
Теперь вычитаем значение слева и справа:
Чтобы найти неизвестный множитель (х) нужно произведение (25) разделить на известный множитель (5):
Ответ х = -5
Если сомневаетесь в ответе можно проверить, подставив полученное значение в наше уравнение вместо х:
4(-5+7) = 3-(-5)
8 = 8 - уравнение решено верно!
Решить теперь что-нибудь по-сложнее:
Пример №3 Найти корни уравнения: \((y+4)-(y-4)=6y \)
В первую очередь, также избавимся от скобок:
Сразу видим в левой части y и -y, а значит их можно просто вычеркнуть, а полученные числа просто сложить, и записать выражение:
Теперь можно перенести значения с «y» в левую сторону, а значения с числами в правую. Но ведь это не обязательно, ведь не важно с какой стороны находятся переменные, главное, чтобы они были без чисел, а значит, ничего переносить не будем. Но для тех кто не понял, то сделаем, как гласит правило и разделим обе части на (-1), как гласит свойство:
Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель:
\(y=\frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \)
Ответ: y = \(1\frac{1}{3} \)
Также можно проверить ответ, но сделайте это самостоятельно.
Пример №4 \((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)
Теперь я просто решу, без объяснений, а вы посмотрите на ход решения и правильную запись решения уравнений:
\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)
\(0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 \)
\(0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 \)
\(x=\frac{7,8}{-5,2}=\frac{3}{-2} =-1,5 \)
Ответ: x = -1,5
Если что-то не понятно по ходу решения пишите в комментариях
Решение задач с помощью уравнений
Зная что такое уравнения и научившись их вычислять - вы также открываете себе доступ к решению множества задач, где для решения используются именно уравнения.
Не буду вдаваться в теорию, лучше показать все и сразу на примерах
Пример №5 В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того, как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине, а сколько в ящике?
В первую очередь нужно определить, что мы примем за «х», в данной задаче можно принять и ящики, и корзины, но я возьму яблоки в корзине.
Значит, пусть в корзине было x яблок, так как в ящике яблок было в два раза больше, то возьмем это за 2х. После того, как из корзины яблоки переложили в ящик в корзине яблок стало: х - 10, а значит, в ящике стало - (2х + 10) яблок.
Теперь можно составить уравнение:
5(х-10) - в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине.
Приравняем первое значение и второе:
2x+10 = 5(x-10) и решаем:
2х + 10 = 5х - 50
2х - 5х = -50 - 10
х = -60/-3 = 20 (яблок) - в корзине
Теперь, зная сколько яблок было в корзине, найдем сколько яблок было в ящике - так как их было в два раза больше, то просто результат умножим на 2:
2*20 = 40 (яблок) - в ящике
Ответ: в ящике - 40 яблок, а в корзине - 20 яблок.
Я понимаю, что многие из вас, возможно, не до конца разобрались в решении задач, но уверяю к этой теме мы вернемся и еще не раз на наших уроках, а пока если у вас остались вопросы - задавайте их в комментариях.
Под конец еще несколько примеров на решения уравнений
Пример №6 \(2x - 0,7x = 0 \)
Пример №7 \(3p - 1 -(p+3) = 1 \)
Пример №8 \(6y-(y-1) = 4+5y \)
\(6y-y+1=4+5y \)
\(6y-y-5y=4-1 \)
\(0y=3 \) - корней нет, т.к. на ноль делить нельзя!
Всем спасибо за внимание. Если что-то непонятно спрашивайте в комментариях.
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
- Равенство с переменной называют уравнением.
- Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
- Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
- Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
- Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Примеры. Решить уравнение.
1. 1,5х+4 = 0,3х-2.
1,5х-0,3х = -2-4. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство:
1,2х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу:
х = -6 : 1,2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как
х = -5. Делили по правилу деления десятичной дроби на десятичную дробь:
чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число:
6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
Ответ: 5.
2. 3∙ (2х-9) = 4∙ (х-4).
6х-27 = 4х-16. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
6х-4х = -16+27. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
2х = 11. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = 11 : 2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Ответ: 5,5.
3. 7х- (3+2х)=х-9.
7х-3-2х = х-9. Раскрыли скобки по правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»: если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.
7х-2х-х = -9+3. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
4х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = -6 : 4. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Ответ: -1,5.
3 ∙ (х-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2х-11). Умножили обе части равенства на 12 – наименьший общий знаменатель для знаменателей данных дробей.
3х-15 = 84-8х+44. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
3х+8х = 84+44+15. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
