Отделение неприводимых кратных множителей многочлена. Разложение на множители Кратный множитель
Данный онлайн-калькулятор предназначен для разложения функции на множители.
Например, разложить на множители: x 2 /3-3x+12 . Запишем как x^2/3-3*x+12 . Также можно использовать и этот сервис , где все выкладки сохраняются в формате Word .
Например, разложить на слагаемые . Запишем как (1-x^2)/(x^3+x) . Чтобы посмотреть ход решения, нажимаем Show steps . Если необходимо получить результат в формате Word используйте этот сервис .
Примечание : число "пи" (π) записывается как pi ; корень квадратный как sqrt , например, sqrt(3) , тангенс tg записывается как tan . Для просмотра ответа см. раздел Alternative .
- Если задано простое выражение, например, 8*d+12*c*d , то выражение разложить на множители означает представить выражение в виде сомножителей. Для этого необходимо найти общие множители. Данное выражение запишем как: 4*d*(2+3*c) .
- Представить произведение в виде двух двучленов: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Здесь уже надо найти несколько общих сомножителей: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Выносим (x+7z) и получаем: (x+7z)(x + 3y) .
см. также Деление многочленов уголком (показаны все шаги деления столбиком)
Полезным при изучении правил разложения на множители будут формулы сокращенного умножения , с помощью которых будет ясно, как раскрывать скобки с квадратом:
- (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
- (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
- (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
- a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
- a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
- (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
- (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3
Методы разложения на множители
Изучив несколько приемов разложение на множители можно составить следующую классификацию решений:- Использование формул сокращенного умножения.
- Поиск общего множителя.
Определение 1. Если многочлен f(x) обращается в нуль при подстановке в него числа с вместо неизвестного, то с называется корнем многочлена f(x) (или уравнения f(x)=0).
Пример 1. f (x)=x 5 +2x 3 -3x.
Число 1 является корнем f(x), а число 2 не является корнем f(x), так как f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, а f(2)=2 5 +2∙2 3 -3∙2=42≠0.
Оказывается, корни многочлена связаны с его делителями.
Число с тогда и только тогда является корнем многочлена f(x), когда f(х) делится на х-с.
Определение 2. Если с - корень многочлена f(х), то f(х) делится на х-с. Тогда найдется натуральное число k, что f(х) делится на (х-с) k , но не делится на (х-с) k+1 . Такое число k называется кратностью корня с многочлена f(х), а сам корень с - k-кратным корнем этого многочлена. Если k=1, то корень с называют простым.
Для нахождения кратности k корня с многочлена f(х) применяют теорему:
Если число с является k-кратным корнем многочлена f(х), то при k>1 оно будет (k-1)-кратным корнем первой производной этого многочлена; если же k=1, то с не будет служить корнем для f "(х).
Следствие. k-кратный корень многочлена f(х) впервые не будет служить корнем для k-й производной.
Пример 2. Убедиться, что число 2 является корнем многочлена f(х)=х 4 -4х 3 +16х-16. Определить его кратность.
Решение. Число 2 является корнем f(х), так как 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.
f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;
f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;
f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.
Число 2 впервые не является корнем f"""(х), поэтому число 2 является трехкратным корнем многочлена f(х).
Пусть дан многочлен f(х) степени n≥1 со старшим коэффициентом 1: f(х)=х n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n и α 1 ,...,α n – его корни. Корни многочлена и его коэффициенты связаны формулами, которые называют формулами Виета:
a 1 = -(α 1 +...+α n),
a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,
a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),
...........................
a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .
Формулы Виета облегчают написание многочлена по заданным его корням.
Пример 3. Найти многочлен, имеющий простые корни 2; 3 и двукратный корень –1.
Решение. Найдем коэффициенты многочлена:
а 1 =– (2+3–1–1)=-3,
а 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,
а 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7,
а 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.
Искомый многочлен есть х 4 –3х 3 –3х 2 –7х+6.
Определение 3. Многочлен f(х)ÌР[x] степени n приводим над полем Р, если он может быть разложен в произведение двух множителей φ(х) и ψ(х) из Р[x], степени которых меньше n:
f(x)=φ(x)ψ(x). (1)
f(x)ÎP[x] называют неприводимым над полем Р, если в любом его разложении на множители из Р[x] один из множителей имеет степень 0, другой – степень n.
Имеют место следующие теоремы:
Всякий многочлен ненулевой степени f(х) из кольца Р[x] разлагается в произведение неприводимых множителей из Р[x] однозначно с точностью до множителей нулевой степени.
Отсюда легко следует, что для всякого многочлена f(х)ÎР[x] степени n, n≥1, существует следующее разложение на неприводимые множители:
где - неприводимые многочлены из P[x] со старшими коэффициентами, равными единице. Такое разложение для многочлена однозначно.
Неприводимые множители, входящие в такое разложение, не обязаны быть все различными. Если неприводимый многочлен встречается ровно k раз в разложении (2), то он называется k-кратным множителем многочлена f(х).Если множитель Р(х) входит в это разложение только один раз, то он называется простым множителем для f(х).
Если в разложении (2) одинаковые множители собрать вместе, то это разложение можно записать в следующем виде:
, (3)
где множители Р 1 (х),…,Р r (x) уже все различные. Показатели k 1 ,…,k r здесь равны кратностям соответствующих множителей. Разложение (3) можно записать в виде:
где F 1 (x) – произведение всех простых неприводимых множителей, - произведение всех двукратных неприводимых множителей и т.д. в разложении (3). Если в разложении (3) нет m-кратных множителей, то множитель считается равным единице.
Многочлены F 1 (x),…,F s (x) для многочлена f(x) над числовыми полями можно найти, пользуясь понятием производной, алгоритмом Евклида из формулированной ранее теоремы (о связи с производной) следующим образом:
Поэтому получаем
Таким образом, для многочлена f(x) мы можем найти множители .
Если для многочлена f(x) надо найти множители F 1 (x),…,F s (x) его разложения (4), то говорят, что надо отделить его кратные множители.
Пример 4. Отделить кратные множители f(x)=х 5 -х 4 -5х 3 +х 2 +8х+4.
Решение. Находим НОД f(x) и f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.
d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.
Теперь находим d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x)).
Выражаем v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).
(производим деление).
v 1 (x)=x 2 -x-2.
(производим деление).
Поэтому получаем F 3 (x)=v 3 (x)=x+1,
Таким образом, многочлен f(x) имеет разложение f(x)=(х-2) 2 (х+1) 3 . В разложении (3) многочлена f(x) простых множителей нет, двукратный множитель х-2 и трехкратный множитель х+1.
Замечание 1. Этот способ ничего не дает в том случае, если все неприводимые множители многочлена f(x) простые (получим тождество f(x)=F 1 (x)).
Замечание 2. Этот способ позволяет определить кратности всех корней произвольного многочлена.
ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1. Убедиться, что многочлен 3х 4 -5х 3 +3х 2 +4х-2 имеет корень 1+i. Найти остальные корни многочлена.
2. Отделить кратные множители х 5 +5х 4 -5х 3 -45х 2 +108.
3. Найти многочлен наименьшей степени, корнями которого являются: 5, i, i+3.
Вариант 2
1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =2 для многочлена f(x)=x 5 -7х 4 +12х 3 +16х 2 -64х+48? Найти остальные его корни.
2. Отделить кратные множители х 5 -6х 4 +16х 3 -24х 2 +20х-8.
3. Определить соотношение между коэффициентами уравнения x 3 +px+q=0, если его корни х 1 , х 2 , х 3 , удовлетворяют соотношению .
Вариант 3
1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =4 для многочлена х 4 -7х 3 +9х 2 +8х+16? Найти остальные корни.
2. Отделить кратные множители х 6 -2х 5 -х 4 -2х 3 +5х 2 +4х+4.
3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения равнялся удвоенному другому: x 3 -7x+λ=0.
Вариант 4
1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х 4 -6х 3 +10х 2 -6х+9. Определить его кратность и найти остальные корни.
2. Отделить кратные множители многочлена х 5 +6х 4 +13х 3 +14х 2 +12х+8.
3. Сумма двух корней уравнения 2х 3 -х 2 -7х+λ=0 равна 1. Найти λ.
Вариант 5
1. Показать, что х 0 =-2 является корнем многочлена х 4 +х 3 -18х 2 -52х-40. Определить его кратность и найти остальные корни.
2. Отделить кратные множители многочлена f(x)=х 5 -5х 4 -5х 3 +45х 2 -108.
3. Найти многочлен наименьшей степени по данным корням 1, 2, 3, 1+i.
Вариант 6
1. Найти условие, при котором многочлен х 5 +ах 4 +b имеет двойной корень, отличный от нуля.
2. Отделить кратные множители многочлена х 6 +15х 4 -8х 3 +51х 2 -72х+27.
3. Многочлен а 0 х n +a 1 x n -1 +…+a n имеет корни х 1 , х 2 ,…, х n . Какие корни имеют многочлены: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;
2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?
Вариант 7
1. Показать, что х=-2 является корнем многочлена 4х 5 +24х 4 +47х 3 +26х 2 -12х-8. Найти кратность корня и найти остальные корни многочлена.
3. Найти сумму квадратов корней уравнения 2х 3 -2х 2 -4х-1.
Вариант 8
1. Доказать, что х=1 является корнем многочлена х 6 -х 5 -4х 4 +6х 3 +х 2 -5х+2. Определить его кратность. Найти остальные корни многочлена.
3. Один из корней многочлена в два раза больше другого. Найти корни многочлена f(х)=х 3 -7х 2 +14х+λ.
Вариант 9
1. Найти условие, при котором многочлен х 5 +10ах 3 +5bх+с имеет тройной корень, отличный от нуля.
2. Отделить кратные множители многочлена х 7 -3х 6 +5х 5 -7х 4 +7х 3 -5х 2 +3х-1.
3. Решить уравнение х 3 -6х 2 +qх+2=0, если известно, что его корни образуют арифметическую прогрессию.
Вариант 10
1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х 4 -12х 3 +53х 2 -102х+72. Определить кратность корня, найти другие корни многочлена.
2. Отделить кратные множители многочлена х 6 -4х 4 -16х 2 +16.
3. Найти многочлен с действительными коэффициентами наименьшей степени по данным корням 1, 2+i, 3.
Вариант 11
1. Показать, что х=2 является корнем многочлена х 5 -6х 4 +13х 3 -14х 2 +12х-8. Найти его кратность и остальные корни.
2. Отделить кратные множители многочлена х 4 +х 3 -3х 2 -5х-2.
3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3.
Вариант 12
1. Показать, что х=-1 является корнем многочлена х 4 +х 3 -3х 2 -5х-2. Найти его кратность и остальные корни многочлена.
2. Отделить кратные множители многочлена х 5 -3х 4 +4х 3 -4х 2 +3х-1.
3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2.
Вариант 13
1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =4 для многочлена х 4 -7х 3 +9х 2 +8х+16? Найти остальные корни многочлена.
2. Отделить кратные множители многочлена х 6 -2х 5 -х 4 -2х 3 +5х 2 +4х+4.
3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения х 3 -7х+λ=0 равнялся удвоенному другому.
Определение 1. Если многочлен f(x) обращается в нуль при подстановке в него числа с вместо неизвестного, то с называется корнем многочлена f(x) (или уравнения f(x)=0).
Пример 1. f (x)=x 5 +2x 3 -3x.
Число 1 является корнем f(x), а число 2 не является корнем f(x), так как f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, а f(2)=2 5 +2∙2 3 -3∙2=42≠0.
Оказывается, корни многочлена связаны с его делителями.
Число с тогда и только тогда является корнем многочлена f(x), когда f(х) делится на х-с.
Определение 2. Если с - корень многочлена f(х), то f(х) делится на х-с. Тогда найдется натуральное число k, что f(х) делится на (х-с) k , но не делится на (х-с) k+1 . Такое число k называется кратностью корня с многочлена f(х), а сам корень с - k-кратным корнем этого многочлена. Если k=1, то корень с называют простым.
Для нахождения кратности k корня с многочлена f(х) применяют теорему:
Если число с является k-кратным корнем многочлена f(х), то при k>1 оно будет (k-1)-кратным корнем первой производной этого многочлена; если же k=1, то с не будет служить корнем для f "(х).
Следствие. k-кратный корень многочлена f(х) впервые не будет служить корнем для k-й производной.
Пример 2. Убедиться, что число 2 является корнем многочлена f(х)=х 4 -4х 3 +16х-16. Определить его кратность.
Решение. Число 2 является корнем f(х), так как 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.
f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;
f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;
f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.
Число 2 впервые не является корнем f"""(х), поэтому число 2 является трехкратным корнем многочлена f(х).
Пусть дан многочлен f(х) степени n≥1 со старшим коэффициентом 1: f(х)=х n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n и α 1 ,...,α n – его корни. Корни многочлена и его коэффициенты связаны формулами, которые называют формулами Виета:
a 1 = -(α 1 +...+α n),
a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,
a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),
...........................
a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .
Формулы Виета облегчают написание многочлена по заданным его корням.
Пример 3. Найти многочлен, имеющий простые корни 2; 3 и двукратный корень –1.
Решение. Найдем коэффициенты многочлена:
а 1 =– (2+3–1–1)=-3,
а 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,
а 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7,
а 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.
Искомый многочлен есть х 4 –3х 3 –3х 2 –7х+6.
Определение 3. Многочлен f(х)ÌР[x] степени n приводим над полем Р, если он может быть разложен в произведение двух множителей φ(х) и ψ(х) из Р[x], степени которых меньше n:
f(x)=φ(x)ψ(x). (1)
f(x)ÎP[x] называют неприводимым над полем Р, если в любом его разложении на множители из Р[x] один из множителей имеет степень 0, другой – степень n.
Имеют место следующие теоремы:
Всякий многочлен ненулевой степени f(х) из кольца Р[x] разлагается в произведение неприводимых множителей из Р[x] однозначно с точностью до множителей нулевой степени.
Отсюда легко следует, что для всякого многочлена f(х)ÎР[x] степени n, n≥1, существует следующее разложение на неприводимые множители:
где - неприводимые многочлены из P[x] со старшими коэффициентами, равными единице. Такое разложение для многочлена однозначно.
Неприводимые множители, входящие в такое разложение, не обязаны быть все различными. Если неприводимый многочлен встречается ровно k раз в разложении (2), то он называется k-кратным множителем многочлена f(х).Если множитель Р(х) входит в это разложение только один раз, то он называется простым множителем для f(х).
Если в разложении (2) одинаковые множители собрать вместе, то это разложение можно записать в следующем виде:
, (3)
где множители Р 1 (х),…,Р r (x) уже все различные. Показатели k 1 ,…,k r здесь равны кратностям соответствующих множителей. Разложение (3) можно записать в виде:
где F 1 (x) – произведение всех простых неприводимых множителей, - произведение всех двукратных неприводимых множителей и т.д. в разложении (3). Если в разложении (3) нет m-кратных множителей, то множитель считается равным единице.
Многочлены F 1 (x),…,F s (x) для многочлена f(x) над числовыми полями можно найти, пользуясь понятием производной, алгоритмом Евклида из формулированной ранее теоремы (о связи с производной) следующим образом:
Поэтому получаем
Таким образом, для многочлена f(x) мы можем найти множители .
Если для многочлена f(x) надо найти множители F 1 (x),…,F s (x) его разложения (4), то говорят, что надо отделить его кратные множители.
Пример 4. Отделить кратные множители f(x)=х 5 -х 4 -5х 3 +х 2 +8х+4.
Решение. Находим НОД f(x) и f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.
d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.
Теперь находим d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x)).
Выражаем v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).
(производим деление).
v 1 (x)=x 2 -x-2.
(производим деление).
Поэтому получаем F 3 (x)=v 3 (x)=x+1,
Таким образом, многочлен f(x) имеет разложение f(x)=(х-2) 2 (х+1) 3 . В разложении (3) многочлена f(x) простых множителей нет, двукратный множитель х-2 и трехкратный множитель х+1.
Замечание 1. Этот способ ничего не дает в том случае, если все неприводимые множители многочлена f(x) простые (получим тождество f(x)=F 1 (x)).
Замечание 2. Этот способ позволяет определить кратности всех корней произвольного многочлена.
ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1. Убедиться, что многочлен 3х 4 -5х 3 +3х 2 +4х-2 имеет корень 1+i. Найти остальные корни многочлена.
2. Отделить кратные множители х 5 +5х 4 -5х 3 -45х 2 +108.
3. Найти многочлен наименьшей степени, корнями которого являются: 5, i, i+3.
Вариант 2
1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =2 для многочлена f(x)=x 5 -7х 4 +12х 3 +16х 2 -64х+48? Найти остальные его корни.
2. Отделить кратные множители х 5 -6х 4 +16х 3 -24х 2 +20х-8.
3. Определить соотношение между коэффициентами уравнения x 3 +px+q=0, если его корни х 1 , х 2 , х 3 , удовлетворяют соотношению .
Вариант 3
1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =4 для многочлена х 4 -7х 3 +9х 2 +8х+16? Найти остальные корни.
2. Отделить кратные множители х 6 -2х 5 -х 4 -2х 3 +5х 2 +4х+4.
3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения равнялся удвоенному другому: x 3 -7x+λ=0.
Вариант 4
1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х 4 -6х 3 +10х 2 -6х+9. Определить его кратность и найти остальные корни.
2. Отделить кратные множители многочлена х 5 +6х 4 +13х 3 +14х 2 +12х+8.
3. Сумма двух корней уравнения 2х 3 -х 2 -7х+λ=0 равна 1. Найти λ.
Вариант 5
1. Показать, что х 0 =-2 является корнем многочлена х 4 +х 3 -18х 2 -52х-40. Определить его кратность и найти остальные корни.
2. Отделить кратные множители многочлена f(x)=х 5 -5х 4 -5х 3 +45х 2 -108.
3. Найти многочлен наименьшей степени по данным корням 1, 2, 3, 1+i.
Вариант 6
1. Найти условие, при котором многочлен х 5 +ах 4 +b имеет двойной корень, отличный от нуля.
2. Отделить кратные множители многочлена х 6 +15х 4 -8х 3 +51х 2 -72х+27.
3. Многочлен а 0 х n +a 1 x n -1 +…+a n имеет корни х 1 , х 2 ,…, х n . Какие корни имеют многочлены: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;
2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?
Вариант 7
1. Показать, что х=-2 является корнем многочлена 4х 5 +24х 4 +47х 3 +26х 2 -12х-8. Найти кратность корня и найти остальные корни многочлена.
3. Найти сумму квадратов корней уравнения 2х 3 -2х 2 -4х-1.
Вариант 8
1. Доказать, что х=1 является корнем многочлена х 6 -х 5 -4х 4 +6х 3 +х 2 -5х+2. Определить его кратность. Найти остальные корни многочлена.
3. Один из корней многочлена в два раза больше другого. Найти корни многочлена f(х)=х 3 -7х 2 +14х+λ.
Вариант 9
1. Найти условие, при котором многочлен х 5 +10ах 3 +5bх+с имеет тройной корень, отличный от нуля.
2. Отделить кратные множители многочлена х 7 -3х 6 +5х 5 -7х 4 +7х 3 -5х 2 +3х-1.
3. Решить уравнение х 3 -6х 2 +qх+2=0, если известно, что его корни образуют арифметическую прогрессию.
Вариант 10
1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х 4 -12х 3 +53х 2 -102х+72. Определить кратность корня, найти другие корни многочлена.
2. Отделить кратные множители многочлена х 6 -4х 4 -16х 2 +16.
3. Найти многочлен с действительными коэффициентами наименьшей степени по данным корням 1, 2+i, 3.
Вариант 11
1. Показать, что х=2 является корнем многочлена х 5 -6х 4 +13х 3 -14х 2 +12х-8. Найти его кратность и остальные корни.
2. Отделить кратные множители многочлена х 4 +х 3 -3х 2 -5х-2.
3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3.
Вариант 12
1. Показать, что х=-1 является корнем многочлена х 4 +х 3 -3х 2 -5х-2. Найти его кратность и остальные корни многочлена.
2. Отделить кратные множители многочлена х 5 -3х 4 +4х 3 -4х 2 +3х-1.
3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2.
Вариант 13
1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =4 для многочлена х 4 -7х 3 +9х 2 +8х+16? Найти остальные корни многочлена.
2. Отделить кратные множители многочлена х 6 -2х 5 -х 4 -2х 3 +5х 2 +4х+4.
3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения х 3 -7х+λ=0 равнялся удвоенному другому.
Похожая информация.